Wp/isv/Теорема Питагораса

Теорема Питагораса је тврджење из еуклидесовој геометрии о простых-трикутниках говорјуче, что во каждым трикутнику, ктори имаје просты кут (90°) квадрат створјены из бока напротив простого кута имаје поље равне сумє пољ квадратов двох осталых боков.

$a^2+b^2=c^2$

Доказ

Во 1 книгє Еуклидеса ’’Елементы’’ во пропозицији 47 читајемо:

’’Во простокутных трикутниках квадрат бока напротив простого кута је равны сумє квадратов боков творјучих просты кут.’’

Разважаны простокутны трикутник

Нехај трикутник о врхах АБЦ буде простокутным трикутником, кде кут БАЦ је просты.

△ABC -> ∠BAC = 90°

Квадрат боку БЦ је равны сумє квадратов БА и АЦ.

На боку БЦ нарысовати квадрат БДЕЦ, на боку АБ нарысовати квадрат АБФГ а на боку АЦ нарысовати квадрат АЦКХ.

Рысујемо простој линију АЛ паралелној до БД або ЦЕ, а потом наступне линије АД о концу в Д и ЦФ о концу в Ф.

Јестли куты БАЦ и БАГ сут просте, тогда бок ЦА је на простој линији разом с АГ, бо двє просте линије АЦ и АГ не лежут на тој самој боку и творјут прилегле куты равне двом простым кутом.

∠BAC = 90°

∠BAG = 90°

Из точно того повода БА тож је на простој линији с АХ.

Јесли кут ДБЦ је равны кутови ФБА (бо оне два сут просте куты), додај кут АБЦ до каждого из њих и тогда цєлы кут ДБА буде равны цєлому кутови ФБЦ.

∠DBC=∠FBA /+∠ABC

∠DBA=∠FBC

Јестли ДБ јест равне БЦ и ФБ је равне БА, тогда АБ је равне ФБ и БД је равне БЦ.

DB=BC

FB=BA

Кут АБД је равны кутови ФБЦ, дакле основа АД је равна основє ФЦ и трикутник АБД је равны трикутникови ФБЦ.

△ABD≅△FBC БББ (бок-бок-бок)

Тутчасно паралелограм/равнобежник АБДЛ је двакратност трикутника АБД, бо оне два имајут једнакој основу БД и сут меджу паралелными/равнобєжными простыми БД и АЛ. Квадрат ГБ је двакратност трикутника ФБЦ, бо оне имајут тој самој основу ФБ и сут меджу паралелными/равнобєжными линиами ФБ и ГЦ.

То значи, же паралелограм/равнобєжник АБДЛ је равны квадратови АБФГ.

Подобно, јестли АЕ и БК сут сједињене, можно доказати, что паралелограм/равнобєжник АЦЕЛ је равны квадратови АЦКХ.

Квадрат БДЕЦ је описаны на БЦ, квадрат АБФГ је описаны на АБ а квадрат АЦКХ је описаны на АЦ.

Дакле цєлы квадрат БДЕЦ је равны сумє квадратов АБФГ и АЦКХ.

Дакле во трикутниках о простык кутах, квадрат бока напротив простого кута је равны сумє квадратов боков, кторе творјут просты кут.

BC2=AB2+AC2

Тврджење косинусов

Тврджење косинусов је разширєње тжрджења Пифагораса, кторе тиче се всих трикутников.

Разважаны трикутник

Нехај закладајмо, что:

a, b, c – сут долгости боков трикутника ABC

α, β, γ – сут куты лежуче напротив боков a, b, c

Теза:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Нехај разважимо три случаје кута:

Кут α је остры (0°-90°)

Јестли једин из кутов је остры, то значи, же јествује други остры кут.

Нехај пункт Д буде сподом (пунктом) вышины водженој из врха.

Во трикутнику АДЦ:

$|CD|=b\cdot \sin \alpha$

$|AD|=b\cdot \cos \alpha$, дакле $|DB|=c-b\cdot \cos \alpha$

Из трджења Питагораса во трикутнику БЦД: $|CB{|}^2=|DB{|}^2+|CD{|}^2$

Тако же: $a^2=(c-b\cdot \cos \alpha {)}^2+(b\cdot \sin \alpha {)}^2=c^2-2bc\cdot \cos \alpha +b^2\cdot ({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Кут α је просты (90°)

Јестли јествује кут просты α = 90° тогда cosα = 0, дакле мы отримујемо обычне тврджење Пифагораса: $a^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Кут α је разварты (90°-180°)

Спод (пункт) вышины ЦД лежи на продолжењу боку АБ. Тогда кут:

∢$|CAD|=180^{\circ }-\alpha$.

$|AD|=b\cdot \cos (180^{\circ }-\alpha )=-b\cdot \cos \alpha$

$|CD|=b\cdot \sin (180^{\circ }-\alpha )=b\cdot \sin \alpha$

Из тврджења Пифагораса дьа трикутника ДБЦ отримујемо:

$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+[c+(-b\cdot \cos \alpha ){]}^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Всєхны случај:

Разважаны трикутник

Во трикутнику АБМ имамо:

$\sin A=\frac{BM}{AB}=\frac{h}{c}$

и

$\cos A=\frac{AM}{AB}=\frac{r}{c}$

Из равнањ (1) i (2) возникаје, что:

$h=c\cdot \sin A$ oraz $r=c\cdot \cos A$

Из тврджења Пифагораса во \(\triangle BMC\):

$a^2=h^2+(b-r{)}^2$

Додајемо до равнања (3):

$a^2=(c\cdot \sin A{)}^2+(b-c\cdot \cos A{)}^2$

$=c^2{\sin }^{2}A+b^2-2bc\cdot \cos A+c^2{\cos }^{2}A$

$=c^2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)+b^2-2bc\cdot \cos A$

$=c^2+b^2-2bc\cdot \cos A$

Жрла

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html

https://www.cuemath.com/trigonometry/law-of-cosine/

https://szkolamaturzystow.pl/baza-wiedzy/1609691904-twierdzenie-cosinusow