Wp/grc/Ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον

Ἐν τῇ μαθηματικῇ, τὸ Ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον δὐο θετικῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν x καὶ y ὁρίζεται ὧδε:

Ὑπολογίζειν τὸ ἀριθμητικὸν καὶ τὸ γεωμερικὸν μέσον τῶν x καὶ y, καλεῖν ταῦτα a₁ καὶ g₁,

$\begin{array}{cc}{a}_1& =\frac{1}{2}(x+y)\\ g_1& =\sqrt{xy}.\end{array}$

Αὐτίκα ἐπαναλαμβάνειν ἐπὶ a₁ ἀντὶ x καὶ g₁ ἀντὶ y, ὥστε ὧδε ὁρίζειν δύο ἀκολουθίας (a_n καὶ g_n),

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n)\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}.\end{array}$

Αἱ ἀκολουθίαι ταύται συγκλίνουν τῷ αὑτῷ ἀριθμῷ, τῷ Ἀριθμητικογεωμετρικῷ μέσῳ τῶν x καὶ y, ὅπερ κέκληται M(x, y). Μέμνησο γὰρ $g_n⩽a_n$, ὅθεν $g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}⩾\sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$ . Ἡ ἀκολουθία g_n ἐστὶ αὔξουσα, ἡ δὲ a_n φθίνουσα, ὅθεν g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n, καὶ τὸ ὅριον M(x, y) κεῖται μεταξὺ τῶν x καὶ y:

$\begin{array}{cc}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}/\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$

ἔνθα K(k) τὸ πλῆρες ἐλλειπτικὸν ὁλοκλήρωμα πρώτου εἴδους ἐστίν,

$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}.$

Ὁ πρῶτος ἀλγόριθμος ἐκπονηθεὶς ὑπὸ τοῦ ἀνυπερβλήτου Λαγρανζίου (Lagrange), διερευνήθη ὑπὸ τοῦ εὐκλεοῦς Γαύσωνος (Gauss).

Ἐπὶ παραδείγματι, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον τῶν a₀ = 24 καὶ g₀ = 6, ἐκβαίνει πρώτιστον τῶν

$\begin{array}{cc}{a}_1& =\frac{1}{2}(24+6)=15\\ g_1& =\sqrt{24\times 6}=12\end{array}$

κατ᾽ ἐπανάληψιν ὧδε,

$\begin{array}{cc}{a}_2& =\frac{1}{2}(15+12)=13.5\\ g_2& =\sqrt{15\times 12}=13.41640786500\dots \\ \dots \end{array}$

Αἱ πέντε πρῶται ἐπαναλήψεις ἀποδίδουσιν

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864998738178455042…
3	13.458 203932499369089227521…	13.458 139030990984877207090…
4	13.4581714817 45176983217305…	13.4581714817 06053858316334…
5	13.4581714817256154207668 20…	13.4581714817256154207668 06…

Ὡς εἰκός, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον τῶν 24 καὶ 6 ἐστὶν ὧδε τὸ κοινὸν ὅριον τῶν ἀκολουθιῶν, τουτέστιν 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.