Wp/bgn/۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …

File:Pm1234 Ground.png

چینکه هزار حاصل جمع جزئی شه دنباله … + ۴ − ۳ + ۲ − ۱

1 − 2 + 3 − 4 + · · · Template:Wp/bgn/چر۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …Template:Wp/bgn/چر یک سری متوالین طبعین اعدادان انت که متناوباً تفریق و جمع ئه به ینت. ای سری اولین مجموعان $m$ توانن که گو سیگمایی طریقه شه جهلین رابطه ئا بدست بیارن:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}$

ای سری بی‌پایان و همیرنگ واگر انت. پد حد نداریت. اما به قرن ۱۸ میلادی یی تا لئونارد اویلر جهلگین معادله نوشت که آ وت زانت که متناقض گو همي اصلا اینت:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}$

اویلر اثبات

اویلر به جهلگین رقما توانت که ثابت کنت که بُرزگین دنباله گو ۴ عددا همگرا انت

$\begin{array}{ccccccc}4s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& -1+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+& (1-2+3-4+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+[& (1-2-2+3)& +(-2+3+3-4)& +(3-4-4+5)& +(-4+5+5-6)+\cdots ]\\ & =& 1+[& 0+0+0+0+\cdots ]\\ 4s& =& 1\end{array}$

همرنگین دنباله ئان

دیگرین دنباله‌ هم به همي دنباله ئی رقما موجود انت. په نمونه خاتیرا، توانن نشان دین که شه جهلکین دنباله به $\frac{1}{2}$ عددا همگرا اینت. ای به وختی اینت که دنباله تانا شه ۰ و ۱ عددان ودی بوتین و نباید انتظار دارن که به نامکملین عددی همگرا بیت.

$1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}.$

گیپتجاه

• Template:Wp/bgn/یادکرد-ویکی