Wb/yue/0.999.../小數乘10

將一個無限小數乘10嘅方法同有限小數一樣：將所有數位向左蹆一格就得。

定理

若果 $A=0.a_1{a}_2{a}_3\dots$ 咁 $10\times A=a_1.a_2{a}_3\dots$

證明

將$A$寫做一個級數：

$A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{10^n}$

然後將兩邊乘10，右邊嘅級數可以逐項乘：

$10A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{10a_n}{10^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{10^{n-1}}$

然後調整個級數嘅標號：

$10A=a_0+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{10^{(n+1)-1}}$

由於$a_0$係 0，得證：

$10A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{10^n}$