Wb/yue/0.999.../小數乘10

將一個無限小數乘10嘅方法同有限小數一樣：將所有數位向左蹆一格就得。

定理

若果 $A = 0 . a_{1} a_{2} a_{3} \dots$ 咁 $10 \times A = a_{1} . a_{2} a_{3} \dots$

將 $A$ 寫做一個級數：

A = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{1 0^{n}}

然後將兩邊乘10，右邊嘅級數可以逐項乘：

10 A = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{10 a_{n}}{1 0^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{1 0^{n - 1}}

然後調整個級數嘅標號：

10 A = a_{0} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n + 1}}{1 0^{(n + 1) - 1}}

由於 $a_{0}$ 係 0，得證：

10 A = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n + 1}}{1 0^{n}}