Wb/yue/0.999.../幾何級數證明

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證明

用0.999...嘅幾何級數定義嘅話，

$0.999...=9\left(\frac{1}{10}\right)+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^3+\dots$

可以睇得出呢條係一條等比級數，公比係$\frac{1}{10}$。由於$\frac{1}{10}<1$，可以套用等比級數公式，得出

$0.999...=9\left(\frac{1}{10}\right)+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+9{\left(\frac{1}{10}\right)}^3+\dots =\frac{9\left(\frac{1}{10}\right)}{1-\frac{1}{10}}=1$

得證。