Wp/isv/Izvod

Izvodom funkcije $f\left(x\right)$ v matematikě nazyvaje se granica $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$$.
$h$ jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz $f(x+h)-f\left(x\right)$ rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.

Osnovne vědomosti

Izvod funkcije $f\left(x\right)$ obyčno se označaje kako $f^{\prime }\left(x\right)$. To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj $x$ jest označena literoju $y$, to jej izvod može se označati jako $y^{\prime }$ abo jako $\frac{dy}{dx}$. Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.

Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:

• ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
• ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
• ako v točkě $a$ izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě $b$, togda v okolině točky $a$ funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky $b$.

Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.

Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.

Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.

Izvod postojannoj funkcije

Ako imajemo postojannu funkciju $y=b$, to jej izvod jest:
$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{b-b}{h}=0$.

To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.

Izvod totožnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=x$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}=1$$

Izvod močnosti

Ako imajemo funkciju $y=x^n$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}=$$

Vynesimo iz zatvorok množitelj $x^n$: $$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n(\frac{{(x+h)}^n}{x^n}-1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n({\left(\frac{x+h}{x}\right)}^n-1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n({(1+\frac{h}{x})}^n-1)}{h}=$$

Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na $x$: $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n({(1+\frac{h}{x})}^n-1)}{x\cdot \frac{h}{x}}=\frac{x^n}{x}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(1+\frac{h}{x})}^n}{\frac{h}{x}}=x^{n-1}\cdot n=n{x}^{n-1}$$

Izvod proizvoda funkcije na postojannu

Ako imajemo funkciju $y=kf\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{kf(x+h)-kf\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k(f(x+h)-f\left(x\right))}{h}=k\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=k{f}^{\prime }\left(x\right)$$

Izvod sumy funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)+g(x+h)-(f\left(x\right)+g\left(x\right))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)+g(x+h)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)+g(x+h)-g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)$$.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.

Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju $y=kx+c$, jej izvod jest
$y^{\prime }=(kx+c)=\left(kx\right)+c^{\prime }=k{x}^{\prime }=k$,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.

Izvod proizvoda funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}=$$

Odojmimo i dobavimo izraz $f\left(x\right)\cdot g(x+h)$ do ujmajemogo čislitelja: $$=\underset{h\to }{\lim }\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f\left(x\right)\cdot g(x+h)+f\left(x\right)\cdot g(x+h)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to }{\lim }\frac{g(x+h)(f(x+h)-f\left(x\right))+f\left(x\right)(g(x+h)-g\left(x\right))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+f\left(x\right)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}=f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)$$.

To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.

Iz togo slěduje, že izvod funkcije $f{\left(x\right)}^n$ jest $n\cdot f^{\prime }\left(x\right)\cdot g{\left(x\right)}^{n-1}$. To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj $n$ ne jest naturalny.

Izvod količnika funkcij

Ako imajemo funkciju $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=f\left(x\right)\cdot \frac{1}{g\left(x\right)}=f\left(x\right)\cdot g{\left(x\right)}^{-1}$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)\cdot g{\left(x\right)}^{-1}-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)\cdot g{\left(x\right)}^{-2}=f^{\prime }\left(x\right)\cdot \frac{1}{g\left(x\right)}-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)\frac{1}{g{\left(x\right)}^2}=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}=\frac{f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}$$

Izvod logaritma

Ako imajemo funkciju $y=\ln x$, to jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+h}{x}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h}=$$

Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na $x$: $$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{h}{x})\cdot \frac{1}{x}}{\frac{h}{x}}=\frac{1}{x}$$

To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu $a\ne 0\wedge a\ne 1$. Togda izvod funkciji $y={\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ bude $\frac{1}{x\ln a}$.

Izvod složenoj funkciji

Ako imajemo funkciju $y=f\left(g\left(x\right)\right)$, togda možno dokazati, že jej izvod jest $y^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)$.

To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.

Izvod trigonometričnyh funkcij

Izvod sinusa

Ako imajemo funkciju $y=\sin x$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos h-1)+\sin h\cos x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h\cos x}{h}=\sin x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\cos x$$

Izvod kosinusa

Ako imajemo funkciju $y=\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$, togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=-\cos (\frac{\pi }{2}-x)=-\sin x$$

Izvod tangensa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{tg}\space x=\frac{\sin x}{\cos x}} , togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{\cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$$

Izvod kotangensa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{ctg}\space x=\frac{\cos x}{\sin x}} , togda jej izvod jest: $$y^{\prime }=\frac{-\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$$

Izvod sekansa

Ako imajemo funkciju $y=\sec x=\frac{1}{\cos x}={(\cos x)}^{-1}$, togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=-\left(\cos x\right)^{-2}\cdot\left(-\sin x\right)=-\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\left(-\sin x\right)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\text{tg}\space x\cdot\sec x}

Izvod kosekansa

Ako imajemo funkciju $y=\csc x=\frac{1}{\sin x}={(\sin x)}^{-1}$, togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=-\left(\sin x\right)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\text{ctg}\space x\csc x}

Izvod obratnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)$, togda obratna funkcija jest $x=f\left(y\right)$, abo $y=f^{-1}\left(x\right)$. Věmo, že
$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$. Kromě togo,
$x^{\prime }=1$.

Slědovateljno, $$\left(f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\right)=1$$ $$f^{\prime }\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\cdot \left(f^{-1}\left(x\right)\right)=1$$ $$y^{\prime }=\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$$

Izvod pokazateljnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=a^x(a\ne 0\wedge a\ne 1)$, togda obratna funkcija jest $y={\log }_{a}x$, a izvod jest: $$y^{\prime }=\frac{1}{\frac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a$$.

Osoblivo, izvod funkciji $y=e^x$ jest $y^{\prime }=e^x$.

Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij

Izvod arksinusa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arcsin}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{\cos\left(\text{arcsin}\space x\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\space x\right)\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

Izvod arkkosinusa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arccos}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\sin\left(\text{arccos}\space x\right)}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\space x\right)\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

Izvod arktangensa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arctg}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{\sec^2\left(\text{arctg}\space x\right)}=\cos^2\left(\text{arctg}\space x\right)=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\space x\right)\right)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}}

Izvod arkkotangensa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arcctg}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\csc^2\left(\text{arcctg}\space x\right)}=-\sin^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)=\cos^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)-1=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\frac{1}{x}\right)\right)^2+1}-1=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}-1=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}-1=\frac{1}{\frac{1+x^2}{x^2}}-1=\frac{x^2}{x^2+1}-1=\frac{x^2-x^2-1}{x^2+1}=-\frac{1}{x^2+1}}

Izvod arksekansa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arcsec}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arcsec}\space x\right)\cdot\sec\left(\text{arcsec}\space x\right)}=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{\text{ctg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{x}=\frac{\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{\sin\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}}

Izvod arkkosekansa

Ako imajemo funkciju Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y=\text{arccsc}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\text{ctg}\left(\text{arccsc}\space x\right)\cdot\csc\left(\text{arccsc}\space x\right)}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arccsc}\space x\right)}{x}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{x}=-\frac{\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{\cos\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}}

Izvody vysšego reda

Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.

Vtory izvod funkcije $y$ označaje se kako $y^{″}$, tretji kako $y^{‴}$. Izvod reda $n\in \mathbb{N}$ označaje se kako $y^{\left(n\right)}$.

Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako $f^{″}\left(x_0\right)>0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_0$ jest vypukla, a ako $f^{″}\left(x_0\right)<0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_0$ jest vgnuta.

Ako $f^{″}\left(x\right)=0$, togda točka $x_0$ rěče se točka prigyba.

Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi

Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja $z{\text{'}}_x$ i $\frac{dz}{dx}$ označaut izvod funkcije $z$ odnosno prěměnnoj $x$, a napisanja $z{\text{'}}_y$ i $\frac{dz}{dy}$ označajut jej izvod odnosno prěměnnoj $y$.

Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.