Wp/rsk/Експоненциялни єдначини

Єдначини у хторих ше нєпозната велькосц находзи у екпоненту ступня волаю ше експоненциялни єдначини. Експоненциялна єдначина дефинована за шицки вредосци нєпознатей велькосци x зоз домену реалних числох.

Єдноставни експоненциялни єдначини

Под єдноставнима експоненциялнима єдначинами подрозумюю ше єдначини хтори маю єден член зоз нєпознату велькосцу у експоненту ступня:

$3^{2(x+1)}=81$

$\begin{array}{cc}{3}^{2(x+1)}& =3^4\\ 2(x+1)& =4\\ 2x+2& =4\\ x& =1\\ \end{array}$

Зложени експоненциялни єдначини

Зложени експоненциялни єдначини содержа векше число членох у хторих нєпозната велькосц у експоненту ступня.

Приклад 1

Ришиц експоненциялну єдначину:

$4^{(x^2-x+1)}=8^x$

$\begin{array}{cc}{2}^{2(x^2-x+1)}& =2^{3x}\\ 2(x^2-x+1)& =3x\\ 2x^2-2x+2& =3x\\ 2x^2-5x+2& =0\\ \end{array}$

Кед ше риши квадратна єдначина достава ше ришеня $x_1=2$ и $x_2=\frac{1}{2}$, так же обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.

Приклад 2

Ришиц експоненциялну єдначину:

${\left(\frac{3}{7}\right)}^{3x-7}-{\left(\frac{7}{3}\right)}^{7x-3}=0$

Кед ше похаснує правила за операциї зоз ступнями, достанє ше:

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{3}{7}\right)}^{3x-7}& ={\left(\frac{7}{3}\right)}^{7x-3}\\ {\left(\frac{3}{7}\right)}^{3x-7}& ={\left(\frac{3}{7}\right)}^{-7x+3}\\ 3x-7& =-7x+3\\ 10x& =10\\ x& =1\end{array}$

Приклад 3

Ришиц експоненциялну єдначину:

$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x=5\cdot 6^x$

Кед ше риши єдначина, достанє ше:

$\begin{array}{cc}3\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{2x}& =5\cdot 2^x{3}^x/:2^x{3}^x\\ 3\frac{2^x}{3^x}+2\frac{3^x}{2^x}& =5\\ 3{\left(\frac{2}{3}\right)}^x+2{\left(\frac{3}{2}\right)}^x& =5/:{(\frac{2}{3})}^x=y\\ 3y+2\frac{1}{y}-5& =0/\cdot y\\ 3y^2-5y+2& =0\\ \end{array}$

Кед ше риши достата квадратна єдначина по y достанє ше же $y_1=1$ и $y_2=\frac{4}{6}$. Кед ше вежнє до огляду же $(\frac{2}{3}{)}^x=y$, доходзи ше и до конєчного ришеня початней експоненциялней єдначини $x_1=0$, a $x_2=1$.

Приклад 4

Ришиц експоненциялну єдначину:

$27^{(x^2-3x-3)}-{\left(\frac{1}{27}\right)}^x=0$

Кед ше риши єдначина, достанє ше:

$\begin{array}{cc}{3}^{3(x^2-3x-3)}& =3^{-3x}\\ 3(x^2-3x-3)& =-3x\\ 3x^2-9x-9& =-3x\\ 3x^2-6x-9& =0/:3\\ x^2-2x-3& =0/\\ \end{array}$

Кед ше риши найдзена квадратна єдначина по достава ше и ришенє експоненциялней єдначини :$x_1=3$ и $x_2=-1$ и обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.

Литература

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.