View source for Wp/rsk/Безуова теорема

'''Безуова теорема''' то єдна зоз алґебарских теоремох хтора дефинує дзелївосц двох полиномох кед дзелїтель ма форму <math>x-\alpha</math>. Вона ше хаснує за розкладанє полиномох на фактори. Теорема достала мено по французкому математичарови Ет'єнови Безуови.

Теорема (Безуов став): Дати полином <math> P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\;(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n \in \mathbb R)</math>, и полином
<math> Q(x) = x - \alpha\; (\alpha \in \mathbb R) </math>, теди полином <math>P(x)</math> при дзелєню зоз полиномом <math>Q(x)</math> дава остаток <math>P(\alpha)</math>. Специялно, кед <math>P(\alpha)=0</math> полином <math>P(x)</math> дзелїви зоз полиномом <math>Q(x)</math>.
 
Доказ: У общим случаю, дзелєнє двох полиномох ше може записац як:

<math> P(x) = B(x)\cdot Q(x) + R(x) </math>

дзе <math>B(x)</math> полином хтори представя количнїк, а <math>R(x)</math> остаток при дзелєню полинома <math>P(x)</math> зоз <math>Q(x)</math>. Зоз заменьованьом <math>Q(x) = x - \alpha </math> ше достава:

<math> P(x) = B(x)(x-\alpha) + R(x) </math>

Кед важи <math>x=\alpha</math> достава ше:

<math> P(\alpha) = B(\alpha)(\alpha-\alpha) + R(\alpha), </math>
 
односно, <math>P(\alpha)=R(\alpha)</math> цо и требало доказац.

Приклад

Дати полином <math>p(x)=x^2+3x+2 \,</math>.

Шлєбодни член то число <math>2</math> и одредзиме його позитивни и нєґативни дзелїтелї <math> 1, -1, 2,-2 </math>. Тоти дзелїтелї заменїме зоз <math>x</math>. Потим, дзелїме єдначину зоз <math>x-n</math>, при чим <math>n</math> число хторе кед зме заменєли зоз <math>x</math> дало <math>0</math>. Одредзуєме:

<math>p(x)=x^2+3x+2 \,</math>

За <math>+1</math> достанєме:

<math>p(+1)=1+3+2=6 \neq 0 \,</math>

Шлїдзи же полином нєдзелїви зоз  <math>x-1</math>.

За <math>-1</math> достанєме:

<math>p(-1)=1-3+2=0 \,</math>

Шлїдзи же полином дзелїви зоз <math>x+1</math>.

За <math>+2</math> достанєме:

<math>p(+2)=4+6+2=12 \neq 0 \,</math>

Шлїдзи же полином нєдзелїви зоз <math>x-2</math>.

За <math>-2</math> достанєме:

<math>p(-2)=4-6+2=0 \,</math>

Шлїдзи же полином дзелїви зоз <math>x+2</math>.

Дзелєнє випатра так:

Дзелєнє зоз <math>x+1</math>:

:<math>(x^2+3x+2):(x+1) = x+2\,</math></br>
<math>-(x^2+x) \,</math></br>
:::<math>2x+2 \,</math></br>
::<math>-(2x+2) \,</math></br>
:::<math>0 \,</math></br>

Преверйованє дзелєня

<math>(x+2) (x+1)= x^2 +2x + x +2 = x^2 + 3x +2 \,</math>

Дзелєнє зоз <math>x-1</math>:

:<math>(x^2+3x+2):(x-1) = x+4\,</math> и остатoк <math>6 \,</math></br>
<math>-(x^2-x) \,</math></br>
:::<math>4x+2 \,</math></br>
::<math>-(4x-4) \,</math></br>
:::<math>6 \,</math></br>

Преверйованє дзелєня

<math>(x+4) (x-1) +6 = x^2 + 4x - x -4 +6 = x^2 + 3x +2 \,</math>

Дзелєнє зоз <math>x+2</math>:

:<math>(x^2+3x+2):(x+2) = x+1\,</math></br>
<math>-(x^2+2x) \,</math></br>
:::<math>x+2 \,</math></br>
::<math>-(x+2) \,</math></br>
:::<math>0 \,</math></br>

Преверйованє дзелєня

<math>(x+1) (x+2)= x^2 +x + 2x +2 = x^2 + 3x +2 \,</math>

Дзелєнє зоз <math>x-2</math>:
:<math>(x^2+3x+2):(x-2) = x+5\,</math> и остатoк <math>12 \,</math></br>
<math> -(x^2-2x) \,</math></br>
:::<math>5x+2 \,</math></br>
::<math>-(5x-10) \,</math></br>
:::<math>12 \,</math></br>

Преверйованє дзелєня

<math>(x+5) (x-2) +12 = x^2 + 5x - 2x -10 +12 = x^2 + 3x +2 \,</math>

[[Wp/rsk/Катеґория:Математика|Катеґория:Математика]]

[[Category:Wp/rsk]]